There is no way to get a balanced schedule with an odd number of teams, and with 10 events you will have to have some pairs of teams playing each other twice. Even giving each team the same number of events will be difficult as this can only be achieved with a multiple of 9 rounds. My suggestion would be to drop one of the events and then play this:
(---) (F I) (D H) (---) (---) (---) (---) (E G) (B C)
(C D) (---) (G A) (E I) (---) (---) (---) (---) (F H)
(G I) (D E) (---) (H B) (F A) (---) (---) (---) (---)
(---) (H A) (E F) (---) (I C) (G B) (---) (---) (---)
(---) (---) (I B) (F G) (---) (A D) (H C) (---) (---)
(---) (---) (---) (A C) (G H) (---) (B E) (I D) (---)
(---) (---) (---) (---) (B D) (H I) (---) (C F) (A E)
(B F) (---) (---) (---) (---) (C E) (I A) (---) (D G)
(E H) (C G) (---) (---) (---) (---) (D F) (A B) (---)
This has the advantage of each team playing each other team once, but note that each team has one event they don't play. A is missing from row 1, and column 1, B is missing from row 2 and column 2, etc.